Question

已知函数f（x）=ax-1nx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的范围为

a≥1

．

Answer 1

分析：根据题意，将不等式f（x）＞1转化为a＞

1nx-1

x

，在区间（1，+∞）内恒成立．令F（x）=

1nx-1

x

，利用导数研究函数F（x）的单调性与极值，即可求出满足题意的实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=ax-1nx，
∴f（x）＞1即ax-1nx＞1，得ax＞1nx-1
∵x＞1，∴原不等式转化为a＞

1nx-1

x

设F（x）=

1nx-1

x

，得F'（x）=

1-(lnx-1)

x2

=

-lnx

x2

∵当0＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0
∴F（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）上为减函数
可得F（x）在（0，+∞）的极大值为F（1），也是函数在（0，+∞）的最大值
∵a＞

1nx-1

x

在区间（1，+∞）内恒成立，
∴a≥F（1），即a≥1，可得实数a的范围为[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）

点评：本题给出含有对数和分母的不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性与极值和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．