Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，n=1，2，…，其中a，b均为正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于{a_n}，{b_n}，存在关系式a_m+1=b_n，试求b的值；
（Ⅲ）对于满足（Ⅱ）中关系式的a_m，试求a₁+a₂+…+a_m．

Answer 1

解：（I）由题设知，a_n=a+（n﹣1）b，
由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b
∴b＜ab，a＞1
∴ab＜a+2b＜3b
又∵b＞0
∴a＜3
∵a为正整数
∴a=2
（II）a_m+1=b_n，可得a+（m﹣1）+1=ba^n﹣1
∵a=2
∴3+（m﹣1）b=b●2^n﹣1
则
∴b＞a=2且b为正整数
∴2^n﹣1﹣（m﹣1）=1
∴b=3
（III）由（II）知，m=2^n﹣1，a_n=3n﹣1
∴a₁+a₂+…+a_m=（3●1﹣1）+（3●2﹣1）+…（3●2^n﹣1﹣1）
=
=
=3●2^2n-3+2^n-2