Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）证明：CC₁∥平面A₁BD。

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为AB=2AD，所以设AD=a，则AB=2a，
又因为∠BAD=60°，
所以在△ABD中，由余弦定理得：，
所以BD=，
所以，故BD⊥AD，
又因为平面ABCD，
所以D₁D⊥BD，
又因为AD∩D₁D=D，
所以BD⊥平面ADD₁A₁，故。
(2)连结AC，设AC∩BD=O，连结，
由底面ABCD是平行四边形得：O是AC的中点，
由四棱台知：平面ABCD∥平面，
因为这两个平面同时都和平面相交，交线分别为AC、，故，
又因为AB=2a，BC=a，，
所以可由余弦定理计算得AC=，
又因为A₁B₁=2a，B₁C₁=，，
所以可由余弦定理计算得A₁C₁=，
所以A₁C₁∥OC且A₁C₁=OC，
故四边形OCC₁A₁是平行四边形，所以CC₁∥A₁O，
又CC₁平面A₁BD，A₁O平面A₁BD，
所以CC₁∥平面A₁BD。