Question

已知直线与曲线相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有两个解x₁，x₂．
求：①m的取值范围     ②比较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出导函数f'（x），设出切点（x，y），然后根据在x=x的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；
（2）①构造函数 ，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．②做差比较较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．
解答：解：（1）∵，∴f'（x）=x²-b
设切点为（x，y），依题意得
解得：b=3
（2）设
则h'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需，∴-9＜m＜0
此时存在x＞3时，h（x）＞0，例如当x=5时，．
∴①所求m的范围是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x²+m2在（0，+∞）3上有两个解x₁，x₂，
满足0＜x₁＜3，x₂＞3，x₁x₂+9-3（x₁+x₂）=（3-x₁）（3-x₂）＜0，
x₁x₂+9＜3（x₁+x₂）．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数与方程的综合运用等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．