Question

方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的个数

 

．

Answer 1

分析：方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的个数即函数y=2^sinθ和y=cosθ图象交点的个数．而y=2^sinθ的图象可通过求导，判单调性和极值解决．

解答：解：令y=2^sinθ，y′=2^sinθln2•cosθ，
∵2^sinθln2＞0，令y′＞0，得cosθ＞0，θ∈(0，

π

2

)∪(

3π

2

，2π)，


∴在 (0，

π

2

)上增在 (

π

2

，

3π

2

)上减，在 (

3π

2

，2π)上增．
故函数y=2^sinθ与y=cosθ图象在[0，2π）上有一个交点，
故方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的个数为1．
故选C．

点评：本题考查方程根的问题，对复杂方程，往往转化为两个函数图象交点个数问题．