Question

已知点A（4，0），B（0，3），O（0，0），点P是△ABO内切圆上一点，
（1）求△ABO内切圆方程．
（2）求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大与最小值．

Answer 1

解：（1）设△ABO内切圆的圆心为（a，a）
∵A（4，0），B（0，3），O（0，0），
∴|OB|=3，|OA|=4，|AB|=5
∴
∴a=1
∴△ABO内切圆的圆心为（1，1），半径为1
∴△ABO内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1
（2）设P（x，y），则|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-4）²+y²+x²+y²+x²+（y-3）²=3x²+3y²-6x-6y+3-2x+22
∵点P是△ABO内切圆上一点
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2x+22，（0≤x≤2），
∴x=0时取最大值，最大值为22；
x=2时取最小值，最小值为18．
分析：（1）利用等面积可求△ABO内切圆的圆心及半径，从而可得△ABO内切圆方程；
（2）设P（x，y），则|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-4）²+y²+x²+y²+x²+（y-3）²=
3x²+3y²-6x-6y+3-2x+22=2x+22，（0≤x≤2），由此可求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大与最小值．
点评：本题考查的重点是圆的标准方程，解题的关键是利用等面积求三角形内切圆的圆心与半径，属于中档题．