Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a₃=4，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明{S_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=2S_n+1，知S_n+1+1=2（S_n+1），利用构造法能够证明{S_n+1}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn+1=2n，故Sn=2n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，所以na_n=n•2^n-1，由此利用错位相减法能够求出数列{na_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴

Sn+1+1

Sn+1

=2，
∵a₁=1，∴S₁+1=2，
∴{S_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn+1=2n，
∴Sn=2n-1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∵a₁=1，∴a_n=2^n-1，（n∈N^*），
∴na_n=n•2^n-1，
∴Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-2）•2^n-2+n•2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
∴Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和错位相减法的合理运用．