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    如图2-22,正方形ABCD中,AE切以BC为直径的半圆O于点E,交DC于F.求CF∶FD.

    图2-22

    思路分析:用代数法,设正方形的边长为a,FC =x,运用勾股定理、切线定理构造一元二次方程,确定x与a的关系即可.

    解:设正方形边长为a,FC =x,∵∠ABC =90°,?

    ∴AB与半圆O相切,又AF切半圆O于点E,?

    ∴AB =AE.同理,FC =FE.∴AF =x +a.?

    在Rt△ADF中,AF2=AD2+DF2,?

    (x +a)2=a2+(a -x)2.?

    解之,得.?

    ∴DF =a-x = a.?

    ∴CF∶FD =∶a =1∶3.

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