Question

已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：（a>b>0）的上下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且
（1） 求椭圆C₁的方程；
（2） 已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足 ，λ≠0且λ≠±1。求证：点Q总在某定直线上。

Answer 1

解：（1）由C₂：x²=4y知，F₁（0，1），设M（x₀，y₀）（x₀<0），
因M在抛物线C₂上，故x₀²=4y₀，
又|MF₁|= ，则y₀+1= ，得x₀=，y₀= ，
而点M在椭圆上，有，又c=1，
所以椭圆方程为 
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由AP=-λPB，得（1-x₁，3-y₁）=- λ（x₂-1，y₂-3），即 x₁-λx₂=（1-λ） ①   
y₁-λy₂=3（1-λ）  ②
由 ，得x₁+λx₂=（1+λ）x  ③   
 y₁+λy₂=（1+λ）y，  ④ 
  ∴①×③，得x₁²-λ²x₂²=（1-λ²）x ， 
②×④，得y₁²-λ²y₂²=3y（1-λ²）   
两式相加得（x₁²+y₁²）- λ²（x₂²+y₂²）=（1-λ₂²）（x+3y），
又点A，B在圆 x²+y²=b²上，由（1）知，即在圆x²+y²=3上，且λ≠±1，  
∴x₁²+y₁²=3， x₂²+y₂²=3，即x+3y=3，
∴点Q总在定直线x+3y=3上