Question

设数列{a_n}，a₁=

5

6

，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程：a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*且n≥2）都有根α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：{a_n-

1

2

}为等比数列；
（2）求a_n；
（3）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，进而可推知

an- 1 2

an-1- 1 2

为定值，原式得证．（2）先根据a₁求得数列{a_n-

1

2

}的首项，再由（1）求得的公比，根据等比数列的通项公式进而可得a_n
（3）再根据等比数列的求和公式，求得S_n．

解答：（1）证明：∵α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，
∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1 3 an-1+ 1 3 - 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

为定值．
∴数列{a_n-

1

2

}是等比数列．
（2）解：∵a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴a_n-

1

2

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ．
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）解：S_n=（

1

3

+

1

32

++

1

3n

）+

n

2

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

+

n

2

=

n+1

2

-

1

2×3n

．

点评：本题主要考查了等比数列的性质，属基础题．