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    精英家教网已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
    		3
    和2-
    		3
    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为
    π
    3
    的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；
    （3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为θ(θ∈(0，
    π
    2
    ])    ，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．
    分析：（1）根据椭圆的性质，可知焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入，即可得出a，b的值，求出椭圆的方程．
    （2）利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
    （3）先假设：△PSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．
    解答：解：（1）由题意得
    a+c=2+
    		3
    a-c=2-
    		3
    ，解得a=2，c=
    		3
    ，b=1
    所求的方程为
    x2
    4
    +y2=1
    （2）直线方程为y=
    		3
    (x-
    		3
    )    ，
    代入椭圆方程得13x2-24
    		3
    x+32=0    ，所以
    x1+x2=
    24
    		3
    13
    x1x2=
    32
    13
    ，
    由弦长公式求得AB=
    16
    13
    ．
    （3）当P在y轴上，Q在x轴上时，△PSQ不是正三角形． 
    当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为-
    1
    k
    ，Q(x2，-
    1
    k
    x2)
    由
    y=kx
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1
    得
    1
    x12
    =
    1
    4
    +
    k2
    2
    （1），同理
    1
    x22
    =
    1
    4
    +
    1
    2k2
    （2）
    由△PSQ为正三角形，得
    		3
    |OP|=|OQ|    ，即3|OP|2=|OQ|2
    所以3[x12+(kx1)2]=x22+(
    x2
    k
    )2    ，化简得
    3k2
    x22
    =
    1
    x12
    ，
    3k2(
    1
    4
    +
    1
    2k2
    )=
    1
    4
    +
    k2
    2
    ，即k2=-
    5
    4
    ＜0    ．
    所以△OPQ不是正三角形．
    点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用
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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

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