Question

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f(2x-1)＜f(

1

3

)的x取值范围是（　　）

• A．(

  2

  3

  ，+∞)
• B．(-∞，

  1

  3

  )
• C．(-∞，

  1

  3

  )∪(

  2

  3

  ，+∞)
• D．(

  1

  3

  ，

  2

  3

  )

Answer 1

分析：根据f（x）在区间[0，+∞）单调递减，可得当2x-1≥0时，原不等式可化为：2x-1＞

1

3

，解得x＞

2

3

．而当2x-1＜0时，利用函数f（x）是偶函数，有f（2x-1）=f（1-2x），所以f(1-2x)＜f(

1

3

)，可化为：1-2x＞

1

3

，解之得x＜

1

3

．最后综上所述，可得满足f(2x-1)＜f(

1

3

)的x取值范围．

解答：解：∵f（x）在区间[0，+∞）单调递减，
∴当2x-1≥0时，即x≥

1

2

时，不等式f(2x-1)＜f(

1

3

)可化为：2x-1＞

1

3

解之得x＞

2

3

，
结合x≥

1

2

可得x取值范围是x＞

2

3

；
当2x-1＜0时，即x＜

1

2

时，因为函数f（x）是偶函数，f（2x-1）=f（1-2x）
所以不等式f(2x-1)＜f(

1

3

)等价于f(1-2x)＜f(

1

3

)，可化为：1-2x＞

1

3

解之得x＜

1

3

结合x＜

1

2

可得x取值范围是x＜

1

3

．
综上所述，得满足f(2x-1)＜f(

1

3

)的x取值范围是{x|x＜

1

3

或x＞

2

3

}
故选C

点评：本题以偶函数为例，要我们解关于x的不等式，着重考查了抽象函数、函数单调性和奇偶性等属于基础题．