Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB=-

1

2

．
（Ⅰ）若a=2，b=2

3

．求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sinA•sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a=2，b=2

3

．以及已知条件通过正弦定理求出A，B，C，然后求△ABC的面积；
（Ⅱ）通过三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简sinA•sinC，利用角的范围求出不等式的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=-

1

2

，∴sinB=

3

2

，
由三角形正弦定理可得：

2

sinA

=

2 3

sinB

，sinA=

1

2

，
∴A=

π

6

，C=

π

6

…（5分）        
  S△ABC=

1

2

absinC=

3

…（7分）
（Ⅱ）sinA•sinC=sin(

π

3

-C)•sinC=

1

2

sin(2C+

π

6

)-

1

4

…（11分）
∵C∈(0，

π

3

)∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)∴sin(2C+

π

6

)∈(

1

2

，1]…（12分）     
 则sinA•sinC∈(0，

1

4

]…（14分）

点评：本题考查三角形的基本知识的应用，正弦定理以及两角和与差的三角函数，正弦函数的值域，考查计算能力．