Question

已知函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点横坐标只需令y=0求出x即为数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在λ≠0，满足b_n+1＞b_n恒成立，然后讨论n的奇偶将λ进行分离，利用恒成立的方法求出λ的范围即可．
解答：解：（1）设f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n（4分）
（2）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，若存在λ≠0，满足b_n+1＞b_n恒成立
即：3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，（6分）
恒成立  （8分）
当n为奇数时，⇒λ＜1（10分）
当n为偶数时，⇒（12分）
所以 （13分），
故：λ=-1（14分）
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及数列与不等式的综合和恒成立问题的应用，属于中档题．