Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，其中a₁=b₁,且对于某个自然数n有a_2n+1=b_2n+1,试比较a_n+1与b_n+1的大小.

Answer 1

解：由题意知，应有b₁≠0，故a₁≠0，设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q.

∵a_2n+1=b_2n+1,a₁=b₁,

∴a₁+(2n+1-1)d=b₁q²ⁿ,

即a₁+2nd=b₁q²ⁿ.

∴a₁+2nd=a₁q²ⁿ.

∴d=.

∴a_n+1-b_n+1=a₁+nd-a₁qⁿ

=a₁+-a₁qⁿ

=a₁.

(1)若q=1，则d=0,a_n+1=b_n+1=a₁.

(2)q=-1，则当n为偶数时，qⁿ-1=0,

所以a_n+1=b_n+1;

当n为奇数时，（qⁿ-1）²＞0.

故a₁＞0时,a_n+1＞b_n+1；

a₁＜0时，a_n+1＜b_n+1.

(3)若|q|≠1,则恒有（qⁿ-1）²＞0.

故a₁＞0时，a_n+1＞b_n+1;

a₁＜0时，a_n+1＜b_n+1.

温馨提示

本题是考查等差、等比数列知识及不等式的证明的综合题，求解时要对作差式的变形式进行讨论才能使求解过程全面、完整.