Question

水以20m³/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m，上底直径12，当水深10m时，水面上升的速度为

 

．

Answer 1

分析：由平行线分线段成比例得出水面的半径与水高的关系，由圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系，对水深求导即为水面上升的速度．

解答：解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，则V=20t，
又V=

1

3

πr²h，由图知，

r

h

=

1 2 ×12

30

∴r=

1

5

h
∴V=

1

3

π•(

1

5

h)2•h=

π

75

h³
∴20t=

π

75

h³，
∴h=

3	1500t π

=

3	1500 π

×t

1

3

∴h′=

3	1500 π

×

1

3

×t-

2

3

．
当h=10时，t=

π

75

×10³×

1

20

=

2

3

π，
此时h′=

3	1500 π

×

1

3

×(

2π

3

)-

2

3

=

5

π

．
∴当h=10米时，水面上升速度为

5

π

米/分．
故答案为：

5

π

．

点评：本题考查了圆锥的体积公式以及平行线分线段成比例定理和对水深求导即为水上升的速度等问题，是易错题．