Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AA₁，E是棱BB₁的中点.

(1)求证：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；

(2)若我们把平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；

(3)设AB=a，求体积.

Answer 1

(1)证明:连结A₁C与AC₁交于点F，连结EF，则由条件可得EC=EA₁，则EF⊥A₁C.同理,EC₁=EA，则EF⊥AC₁，

    ∴EF⊥面AA₁C₁C.

    而EF面A₁EC，∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C.

    〔也可通过如下(2)的辅助线先证明EF∥A₁H，而A₁H⊥面AA₁C₁C得到〕

(2)解:延长CE交C₁B₁的延长线于点H，则有C₁B₁=B₁H=A₁B₁，则∠HA₁C₁=90°,且∠CA₁H=90°,所以∠CA₁C₁为平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA₁C₁=60°,应有CC₁=A₁C₁,与条件AB=AA₁矛盾.

    所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”.

     (也可利用公式cosθ=得到二面角的平面角来解决)

(3)解:=C=·EF·AA₁·AC=×a×a×a=a³.

    (或通过=来计算).