Question

四棱锥S—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC⊥底面ABCD.

(1)由SA的中点E作底面的垂线EH,试确定垂足H的位置;

(2)求二面角E-BC-A的大小.

Answer 1

解:(1)作SO⊥BC于O,则SO平面SBC,

又面SBC⊥底面ABCD,

面SBC∩面ABCD=BC,

∴SO⊥底面ABCD.①

又SO平面SAO,∴面SAO⊥底面ABCD.

作EH⊥AO,∴EH⊥面ABCD,②

即H为垂足,由①②知,EH∥SO.

又E为SA的中点,∴H是AO的中点.

(2)过H作HF⊥BC于F,连EF,由(1)知EH⊥平面ABCD,∴EH⊥BC.

∴BC⊥平面EFH.∴BC⊥EF.

∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角.

在等边△SBC中,∵SO⊥BC,∴O为BC中点.又BC=2,

∴SO==,

EH=SO=,又HF=AB=1,

∴在Rt△EHF中,tan∠HFE===.

∴∠HFE=arctan.∴二面角EBCA为arctan.