Question

已知函数f（x）=x+

1

x

+2．
（1）求f（x）的值域；
（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间（0，1）及（1，2）上分别存在一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x＞0和x＜0时，分别使用基本不等式即可求得，最后取两种情况的并集即可得值域；
（2）将函数零点问题转化为方程的根的问题，利用二次函数的图象，列出不等式组，解出不等式组即可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当x＞0时，f（x）=x+

1

x

+2≥2

x• 1 x

+2=4，（当且仅当x=

1

x

⇒x=1时，取“=”）；
当x＜0时，f（x）=-[

1

-x

+(-x)]+2，
∵-x＞0，∴

1

-x

+(-x)≥2，
∴-[(-

1

x

)+(-x)]≤-2，
∴f（x）≤-2+2=0，（当且仅当x=-1时，取“=”），
故f（x）的值域为（-∞，0]∪[4，+∞）．
（2）g（x）=x²+（a+2）x+1，当g（x）有一个零点在（0，1），另一个零点在（1，2）时，
即x²+（a+2）x+1=0的根一个在在（0，1），另一个在（1，2），
∴

g(0)=1 g(1)=4+a＜0 g(2)=9+2a＞0

⇒-

9

2

＜a＜-4，
故实数a的取值范围为(-

9

2

，-4)．

点评：本题考查了基本不等式的应用，使用基本不等式的时候要注意“一正，二定，三相等”的条件，同时考查了二次函数根的分布的问题，一般结合二次函数图象分析，利用数形结合的思想方法．属于中档题．