Question

已知数列{a_n}满足：an+1=an+(

1

2

)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=

1

2

an-

3

4

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2n-1（n∈N^*），求数列{b_n•c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵an+1=an+(

1

2

)n+1(n∈N*)，且a1=1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

n

)n=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n．
又∵当n=1时，上式也成立，∴an=

3

2

-(

1

2

)n(n∈N*)．
（Ⅱ）∵bn=

1

2

an-

3

4

=

1

2

[

3

2

-(

1

2

)n]-

3

4

=-

1

2

n+1(n∈N*)，
又∵cn=2n-1(n∈N*)，
∴S_n=b₁•c₁+b₂•c₂+…+b_n•c_n
∴Sn=-(

1

2

)2-3×(

1

2

)3-5×(

1

2

)4-…-(2n-1)×(

1

2

)n+1①
∴

1

2

Sn=-(

1

2

)3-3×(

1

2

)4-…-(2n-3)×(

1

2

)n+1-(2n-1)×(

1

2

)n+2②
①-②得：

1

2

Sn=-(

1

2

)2-2×(

1

2

)3-2×(

1

2

)4-…-2×(

1

2

)n+1+(2n-1)×(

1

2

)n+2
=-

1

4

-2[(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n+1]+(2n-1)(

1

2

)n+2=-

3

4

+

2n+3

2n+2

∴Sn=-

3

2

+

2n+3

2n+1

．