Question

某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔．如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=．试问，此人距山崖的水平距离多远时，观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?

Answer 1

[考场错解]  如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)

直线l的方程为y=(x-200)tanα，即y=．设此人距山崖的水平距离为x，

则P(x，)(x＞200)，由经过两点的直线的斜率公式

k_PC==k_PB=.由直线PC到直线PB的角的公式得：

tan  ∠BPC=

设u=∴ux²-(288u-64)x+160×640u=0     ①

∵u≠0∵x∈R.△=(288u-64)²-4×160×640u²≥0. 解得 u≤2．

  当u=2时，x=320．即此人距山崖320米时，观看铁塔的视角∠BPC最大．

  [专家把脉]  上述解答过程中利用x∈R由判别式法求u的最大值是错误的，因为x＞200，即由判别式求得u的最大值，还必须检验方程①的根在(200，+∞)内．

[对症下药]  如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)．直线l的方程为y=(x-200)tanα，即y=.

设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x＞200)．由经过两点的直线的斜率公式

   k_PC=,k_PB=.由直线PC到直线PB的角的公式得

    tan∠BPC==

要使tan∠BPC达到最大，只须x+达到最小．由均值不等式

x+≥2,当且仅当x=时上式取得等号．故当x=320时tan∠BPC最大．由此实际问题知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大，故当此人距山崖水平距离为320米时，观看铁塔的视角∠BPC最大．