Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+1．
（1）写出a₂，a₃，a₄．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+1．利用n=2，3，4，即可求出a₂，a₃，a₄．
（2）解法一：通过（1）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明；
解法二：构造{b_n}是以b₁=-1，

1

2

为公比的等比数列，求出b_n然后求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为a1=1，an+1=

1

2

an+1，
所以a2=

1

2

a1+1=

1

2

+1=

3

2

，
a3=

1

2

a2+1=

1

2

•

3

2

+1=

7

4

，
a4=

1

2

a3+1=

1

2

•

7

4

+1=

15

8

．-------------------（3分）
（2）解法一：猜想：an=

2n-1

2n-1

．下面用数学归纳法证明，
证明：（1）当n=1时，a1=

21-1

21-1

=1，满足上式，显然成立；-------------------（4分）
（2）假设当n=k时ak=

2k-1

2k-1

，那么当n=k+1时，ak+1=

1

2

ak+1=

1

2

•

2k-1

2k-1

+1=

2k-1

2k

+1=

2k-1+2k

2k

=

2k+1-1

2k

满足上式，
即当n=k+1时猜想也成立．-------------------（7分）
由（1）（2）可知，对于n∈n^*都有an=

2n-1

2n-1

．------------------（8分）
解法二：因为an+1=

1

2

an+1，所以an+1-2=

1

2

an+1-2，即an+1-2=

1

2

(an-2)，-------（4分）
设b_n=a_n-2，则bn+1=

1

2

bn，即{b_n}是以b₁=-1，

1

2

为公比的等比数列，
所以bn=b1•qn-1=-

1

2n-1

，------------------（7分）       
 所以an=bn+2=

2n-1

2n-1

．-----------------（8分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，猜想必须利用数学归纳法证明．