Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，AB=BC=1，M为PD的中点．
（Ⅰ） 求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：在平面PAB中作CM的平行线，再由线线平行⇒线面平行即可；
利用平面几何知识，解直角梯形ABCD，证明CD与AC的垂直性，再由线线垂直⇒线面垂直．

解答：证明：（I）取PA的中点E，连接ME、BE，
∵ME∥AD，ME=

1

2

AD，∴ME∥BC，ME=BC，
∴四边形BCME为平行四边形，∴BE∥CM，
∵BE?平面PAB，CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠BAD=90°
过C作CH⊥AD于H，∴AC=CD=

2

∵AC²+CD²=AD²，∴CD⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC

点评：本题考查线面平行与垂直的判定．线面平行的证明有两种思路：1、线线平行⇒线面平行；2、面面平行⇒线面平行．线面垂直的证明有三种思路：1、线线垂直⇒线面垂直；2、面面垂直⇒线面垂直；3、线面垂直和线线平行⇒线面垂直．