Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，

π

2

]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（I）f^′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=aex(x+

1

a

)(x+2)．
（i）当a=

1

2

时，f′(x)=

1

2

ex(x+2)2≥0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．
（ii）当0＜a＜

1

2

时，则

1

a

＞2，即-

1

a

＜-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-2或x＜-

1

a

；当f^′（x）＜0时，解得-

1

a

＜x＜-2．
∴函数f（x）在区间(-∞，-

1

a

)和（-2，+∞）上单调递增；在(-

1

a

，-2)上单调递减．
（iii）当a＞

1

2

时，则

1

a

＜2，即-

1

a

＞-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-

1

a

或x＜-2；由f^′（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

a

．
∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递增；在(-2，-

1

a

)上单调递减．
（II）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f^′（1）=0．∴3ae(1+

1

a

)=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f^′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f^′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．