Question

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励．且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％．现有三个奖励模型：y＝0.25x，，，其中哪个模型能符合公司的要求？

Answer 1

答案：略
解析：

某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可． 不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果． 解： 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，，的图像如图所示，观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断． 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增．当xÎ(20，1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求； 对于模型，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点满足，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当时，y＞5，因此该模型不符合要求． 对于模型，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25％，即当xÎ [10，1000]时，是否有成立． 令，xÎ[10，1000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像如图所示由图像可知它是单调递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即． 所以，当xÎ[10，1000]时，．说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25％．综上所述，模型确实能符合公司要求．

提示：

(1)通过本例可进一步体验指数函数的“爆炸”式增长和对数函数的增长速度比较平缓这一变化规律． (2)学会用函数的图像求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一．这种将“数”与“形”结合解决问题的思想及“数形结合方法”，能使抽象的问题直观化，对人的数学思维的发展有深刻的影响．