Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，则

x2

x+2

+

y2

y+1

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：综合题,转化思想,不等式的解法及应用

分析：x＞0，y＞0，x+y=1，则

x2

x+2

+

y2

y+1

=

x2

x+2

+

(1-x)2

2-x

，t=2-x，x=2-t

x2

x+2

+

(1-x)2

2-x

转化为t的式子，再利用不等式求解．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴

x2

x+2

+

y2

y+1

=

x2

x+2

+

(1-x)2

2-x

，
 令 t=2-x，则x=2-t
 

x2

x+2

+

y2

y+1

=

(2-t)2

4-t

+

(t-1)2

t

=

4

4-t

+

1

t

-2=

3t+4

4t-t2

-2，

 设m=3t+4，则t=

m-4

3

，代入上式可得：

m

m-4 3 . 16-m 3

=

9

-m- 64 m +20

-2，

∵-m-

64

m

≤-16（m=8等号成立），
∴-m-

64

m

+20≤-16+20=4，

9

-m-64m+20

≥

9

4

9

-m-64m+20

-2≥

9

4

-2=

1

4

（m=8等号成立），此时t=

4

3

，x=

2

3

，y=

1

3

符合题意，

 故答案为：

1

4

点评：本题考查了用不等式解决分式类型的函数，两次换元法构造，难度较大．