Question

（2004•河西区一模）解关于x的不等式

x-a

x

＞|x|，其中a＞0．

Answer 1

分析：原不等式等价于（I）

x＞0 x-a x ＞x

，或（II）

x＜0 x-a x ＞-x

．分别利用二次函数的性质求得（I）和（II）的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：等价于（I）

x＞0 x-a x ＞x

，或（II）

x＜0 x-a x ＞-x

．
（I）等价于

x＞0 x2-x+a x ＜0

，等价于

x＞0 x2-x+a＜0

，由于x²-x+a＜0 的判别式△=1-4a，
故当0＜a＜

1

4

时， △＞0，其解集为

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

，
再由1-4a＜1，可得（I）的解集为{x|

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

}．
当≥

1

4

 时，△＜0，不等式（I）的解集为∅．
（II）等价于

x＜0 x2+x-a x ＞0

?

x＜0 x2+x-a＜0

，由于x²+x-a＜0的△=1+4a＞0，
其解为

-1- 1+4a

2

＜x＜

-1+ 1+4a

2

．
∵a＞0，1+4a＞1，

-1+ 1+4a

2

＞0，∴（II）的解集为{x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0}．
综上可得，当0＜a＜

1

4

时，原不等式解集为{x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0或

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

}；
当a≥

1

4

时，原不等式的解集为 { x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0 }．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．