Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

（1）求证：PB⊥DM；

（2）求BD与平面ADMN所成的角.

Answer 1

（1）证明略（2）BD与平面ADMN所成的角为30°

解析:

（1）  ∵N是PB的中点，PA=PB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.                           4分

又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.

∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.                                              7分

（2）  连接DN，

∵PB⊥平面ADMN，

∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，                                 10分

在Rt△BDN中，

sin∠BDN===，                                            12分

∴∠BDN=30°,

即BD与平面ADMN所成的角为30°.                                        14分