Question

已知函数f（x）=Acos（

x

4

+

π

6

），x∈R，且f（

π

3

）=

2

．
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（4a+

4

3

π）=-

30

17

，f（4β-

2

3

π）=

8

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）将x=

π

3

代入函数f（x）并结合特殊角的三角函数值得出结果．
（2）先将x=4a+

4

3

π和x=4β-

2

3

π代入f（x）求得sinα和cosβ，然后根据同角三角函数的基本关系求出cosα和sinβ，最后由余弦函数的和与差公式求出结果．

解答：解：（1）∵f（

π

3

）=

2

∴f（x）=Acos（

1

4

×

π

3

+

π

6

）=Acos

π

4

=

2

∴A=2
（2）∵f（4a+

4

3

π）=2cos[

1

4

×（4α+

4π

3

）+

π

6

]=2cos（α+

π

2

）=-2sinα=-

30

17

∴sinα=

15

17

∵α∈[0，

π

2

]，
∴cosα=

8

17

f（4β-

2

3

π）=2cos[

1

4

×（4β-

2π

3

）+

π

6

]=2cosβ=

8

5

∴cosβ=

4

5

∵β∈[0，

π

2

]，
∴sinβ=

3

5

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

8

17

×

4

5

-

15

17

×

3

5

=

13

85

点评：此题考查了余弦函数的和与差公式和同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．