Question

22.已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点

A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

22.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵i=（1，0），c=（0，a），

∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y－a=－2λax.

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a²x²，

整理得+=1                               ①

 

因为a＞0，所以得：

（ⅰ）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ⅱ）当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E（，）和F（－，）为合乎题意的两个定点；

（ⅲ）当a＞时，方程①也表示椭圆，

焦点E（0，（a+））和F（0，（a－））为合乎题意的两个定点.