Question

如图所示，有两条相交成60°角的直路xx′、yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲离O点3 km,乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行.

(1)起初，两人的距离是多少？

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；

(3)什么时候两人的距离最短？

Answer 1

思路分析：本题是已知两边夹角求第三边的简单应用问题，但是在第(2)小问要对动态中的P和Q分0≤t≤和t＞两种情况讨论，最后统一成一种表达式.

解：(1)设甲、乙两人最初的位置是A、B，

则||²=||²+||²－2||||cos60°=3²+1²－2×3×1×=7,

∴||=7(km).

(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则|AP|=4t,|BQ|=4t.

当0≤t≤时，||²=(3－4t)²+(1+4t)²－2(3－4t)(1+4t)cos60°;

当t＞时，||²=(4t－3)²+(1+4t)²－2(4t－3)(1+4t)cos120°.

注意到，上面两式实际上是统一的，所以||²=48t²-24t+7,

即||=48t²－24t+7.

(3)∵||²=48(t－)²+4，

∴当t=h时，即在第15 min末，PQ最短，最短距离是2 km.

方法归纳 本题甲可以在O点的左侧或右侧，故需分类讨论.不论哪种情况最后结果的结构和形式是相同的.另外求最值的问题，往往要引入变量，建立函数关系式进一步转化成常见函数的最值.