Question

有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为

2

3

．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．
（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；
（2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．

Answer 1

分析：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，可得P（A），P（B），由独立事件的概率公式可得；
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，可求其概率，可得ξ的分布列，进而可得数学期望；（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，所求概率为P（C）=P（ξ=0）²+P（ξ=1）²+P（ξ=2）²+P（ξ=3）²，代入数据计算可得．

解答：解：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，
B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，
则P（A）=(

1

2

×

1

2

×

1

3

)×2+

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

3

，…（2分）
P（B）=(

1

2

×

1

2

×

2

3

)×2+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

5

12

，…（4分）
则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=

1

3

×

5

12

=

5

36

．                   …（6分）
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

；
P(ξ=1)=

1

3

；P(ξ=2)=

5

12

；P(ξ=3)=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

．
所求随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 12	1 3	5 12	1 6

…（10分）
数学期望E(ξ)=0×

1

12

+1×

1

3

+2×

5

12

+3×

1

6

=

5

3

．           …（12分）
（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，
则所求概率为P（C）=P（ξ=0）²+P（ξ=1）²+P（ξ=2）²+P（ξ=3）²
=(

1

12

)2+(

1

3

)2+(

5

12

)2+(

1

6

)2=

23

72

．
所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为

23

72

．       …（16分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，涉及独立事件的概率公式，属中档题．