Question

函数f(x)=

x3-6x2+9x-4，(x≥0) ln|x|，(x＜0)

的零点个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：当x≥0时，f（x）=x³-6x²+9x-4，利用导数判断函数的单调性，再根据单调性以及函数的极值得到函数的
零点个数．当x＜0时，由f（x）=ln|x|=0可得函数的零点．综上可得函数零点个数．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x³-6x²+9x-4，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）．
令f′（x）=0可得x=1，或 x=3．
在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增． 在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
在（3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故f（1）为极大值，f（3）为极小值．f（1）=0，f（3）=-4，
故f（x）在[0，+∞）上有两个零点．
当x＜0时，f（x）=ln|x|，令f（x）=ln|x|=0，可得x=-1，故f（x）在（-∞，0）上有唯一的零点．
综上可得，函数f(x)=

x3-6x2+9x-4(x≥0) ln|x|(x＜0)

的零点个数为3，
故选D．

点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．