Question

已知y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值是f（a），试求f（a）的解析式，并说明当a∈[-2，1]时，的单调性．

Answer 1

解：y=2x²-2ax+3的对称轴是x=，
当 ＜-1时，即a∈（-∞，-2）时，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是增函数，故f（a）=f（-1）=5+2a
当 ∈[-1，1]，即a∈[-2，2]，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上先减后增，故f（a）=f（）=3-
当 ＞1，即a∈（2，+∞）时，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是减函数，故f（a）=f（1）=5-2a
故f（a）=
当a∈[-2，1]时，f（a）=f（）=3-，函数在[-2，0]上是增函数，在[0，1]是减函数，
a∈[-2，1]时，，外层函数是减函数，由复合函数单调性判断规则知
在[-2，0]上是减函数，在[0，1]是增函数．
分析：本题要先求出函数的对称轴，由对称轴与区间的位置关系确定出最小值在何处取到，分段求出最小值，最后用分段的形式表示出f（a）的解析式，根据所求的解析式由复合函数的单调性判断规则得出a∈[-2，1]时，的单调性即可．
点评：本题考点是复合函数的单调性，用分类讨论的方法研究函数在闭区间上的最值问题，再由复合函数的单调性判断函数在闭区间上的单调性问题，本题综合考查了复合函数单调性的判断规则，综合性较强．