Question

已知α，β∈R，写出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的关系等式，并证明这个关系等式．

Answer 1

解：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
证明：如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
由向量数量积的定义，有=cos＜＞=cos＜＞，
由向量数量积的坐标表示，有=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜＞=cosαcosβ+sinαsinβ． ①
对于任意的α、β，总可选取适当的整数k，使得 α-β=＜＞+2kπ，或α-β=-＜＞+2kπ，
故对于任意的α、β，总有 cos（α-β）=cos＜＞成立，带入①式得，
对 α、β∈R，总有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ  成立．
分析：结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．证明：如图所示，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式可得
cos＜＞=cosαcosβ+sinαsinβ，再由 α-β=＜＞+2kπ，或α-β=-＜＞+2kπ，可证得结论成立．
点评：本题主要考查两角差的余弦公式及其证明方法，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，终边相同的角，属于中档题．