Question

已知函数y=f（x）为R上的奇函数，y=f（x）的导数为f'（x），且当x∈（-∞，0]时，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对一切恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，-2]∪[0，+∞）
分析：根据[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），构造函数F（x）=xf（x），由题意分析可得F（x）在（-∞，0]的单调性、奇偶性，从而可得F（x）在[0，+∞）为增函数，又由题意|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对于一切θ∈[-，]恒成立，则有|a+1|≥|sinθ|对于一切θ∈[-，]恒成立，又由y=sinx的性质分析可得|sinθ|的最大值为1，进而可得|a+1|≥1恒成立，解可得答案．
解答：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf'（x），
当x∈（-∞，0]时，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，即F′（x）＜0，
则F（x）在（-∞，0]为减函数，
又由函数y=f（x）为R上的奇函数，f（-x）=-f（x），
则F（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=F（x），故F（x）在R上为偶函数；
又由F（x）在（-∞，0]为减函数，则F（x）在[0，+∞）为增函数，
若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对于一切θ∈[-，]恒成立，
则有|a+1|≥|sinθ|对于一切θ∈[-，]恒成立，
而当θ∈[-，]时，|sinθ|≤1，
则必有|a+1|≥1成立，
解可得，a≤-2或a≥0，即a的取值范围是（-∞，-2]∪[0，+∞）；
故答案为（-∞，-2]∪[0，+∞）．
点评：本题函数函数恒成立问题，涉及函数奇偶性、单调性的应用与复合函数的求导计算，关键是根据题意发现[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），进而构造函数F（x）=xf（x），分析F（x）的单调性与奇偶性，从而解题．