Question

（2011•西安模拟）已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，且当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a＜0，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x），根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式．
（Ⅱ）假设存在实数a＜0，满足条件，①当

1

a

≤-e，即-

1

e

≤a＜0时，利用单调性球的函数的最小值，a值不存在，②当x∈（0，e]，即a＜-

1

e

，利用单调性球的函数的最小值，解出 a=-e²．

解答：解：（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x）．
又f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，∴-f（x）=-ax+ln（-x），
∴f（x）=ax-ln（-x），故f（x）=

ax+lnx   x∈(0，e] ax - ln(-x)  x∈[-e，0)

．
（Ⅱ）假设存在实数a＜0，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3，
则由f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

 知，
①当

1

a

≤-e，即-

1

e

≤a＜0时，由x∈[-e，0）得f′（x）≥0，故f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数，
故f（x）的最小值为f（-e）=-ae-1=3，解得 a=-

4

e

＜-

1

e

 （舍去）．
②当x∈（0，e]，即a＜-

1

e

，则有当x∈[-e，

1

a

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（

1

a

，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）的最小值等于 f（

1

a

）=1-ln（-

1

a

）=3，
解得 a=-e²．
综上，存在实数a=-e²，似的当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3．

点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．