Question

已知圆C：x²+y²一2x一2y+l=0，直线：y=kx，且与圆C交于P，Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（1）当b=1时，求k的值；
（2）若k＞3，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标与半径，由b=1确定出M的坐标，由MP与MQ垂直得到直线l过圆心，将圆心坐标代入y=kx即可求出k的值；
（2）将圆C的方程与直线l方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根与系数的关系表示出x₁+x₂与x₁x₂，由MP与MQ垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，将表示出x₁+x₂与x₁x₂代入，整理后得到b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

，设g（k）=

2k2+2k

1+k2

，求出g（k）的导函数，判断导函数的正负，得到g（k）的单调区间，得到g（k）的范围为b+

1

b

的范围，变形后计算即可得到b的范围．

解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
当b=1时，点M（0，1）在圆上，
故当且仅当直线l过圆心C时满足MP⊥MQ，
∵圆心坐标为（1，1），
∴将x=1，y=1代入得：k=1；
（2）由

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
消去y，可得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

1

1+k2

，
由MP⊥MQ，
得到

MP

•

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，即（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）×

1

1+k2

-kb×

2(1+k)

1+k2

+b²=0，
当b=0时，此式不成立，从而b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

，
令g（k）=

2k2+2k

1+k2

，则g′（k）=

(4k+2)(1+k2)-(2k2+2k)•2k

(1+k2)2

=

-2k2+4k+2

1+k2

，
设h（k）=-2k²+4k+2，此函数在（3，+∞）上单调递减，即h（k）＜h（3）＜0，
故g′（k）在（3，+∞）上为负，
∴g（k）=

2k2+2k

1+k2

在（3，+∞）上单调递减，即g（k）＜g（3）=

12

5

，
且g（k）-2=

2k2+2k

1+k2

-2=

2k-2

1+k2

＞0，
∴2＜b+

1

b

＜

12

5

，
则

6- 11

5

＜b＜

6+ 11

5

，且b≠1．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，平面向量的数量积运算法则，韦达定理，研究利用导数研究函数的单调性，是一道综合性较强的试题．