Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1）

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上的单调递增区间；
（2）求f（x） 在[-

π

3

，

π

3

]上取的最大值时向量

a

与

b

的夹角；
（3）若函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函数y=f（x）的图象，求m，n的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得函数的增区间，由此可得函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上
的单调递增区间．
（2）根据 x∈[-

π

3

，

π

3

]，求得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的最大值，以及此时对应的x值，根据cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

的值，求得＜

a

，

b

＞的值．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的图象重合，从而求得m，n的值．

解答：解：（1）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

2π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z，
故函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上的单调递增区间为 [-

π

3

，

π

6

]．
（2）由于f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），当 x∈[-

π

3

，

π

3

]时，有2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，故当2x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为3．
此时，x=

π

6

，中

a

=（2cosx，1）=（

3

，1 ），

b

=（cosx，

3

sin2x）=（

3

2

，

3

2

），
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

3 × 3 2 +1× 3 2

2×3

=

1

2

，故＜

a

，

b

＞=

π

3

．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的图象重合，
故有-m=

π

12

，n=1，即 m=-

π

12

，n=1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的增区间，两个向量的夹角公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．