Question

已知函数f(x)=x⁴+bx³+cx²+dx+e(x∈R)在x=0和x=1处取得极值.

(1)求d的值及b,c的关系式(用c表示b),并指出c的取值范围;

(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值.

①判断c的取值范围;

②若此时函数f(x)在x=1时取得最小值,求c的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f′(x)=2x³+3bx²+2cx+d,

又∵f′(0)=f′(1)=0,

∴∴

∵f′(x)=2x³-2(c+1)x²+2cx,

即f′(x)=2x(x-1)(x-c),

∴c≠0且c≠1,即c的取值范围是{c|c≠0且c≠1}.

(2)①∵f′(x)=2x(x-1)(x-c),

∴若c＜0.当x∈(c,0)时f′(x)＞0,当x∈(0,1)时f′(x)＜0,∴f(x)在x=0处取得极大值;

若0＜c＜1,当x∈(-∞,0)时f′(x)＜0,当x∈(0,c)时f′(x)＞0,∴f(x)在x=0处取得极小值;

若c＞1,当x∈(-∞,0)时f′(x)＜0,当x∈(0,1)时f′(x)＞0,∴f(x)在x=0处取得极小值.

综上,若f(x)在x=0处取得极大值,则c的范围为(-∞,0).10分

②当c＜0时,x∈(-∞,c)时f′(x)＜0,x∈(c,0)时f′(x)＞0,x∈(0,1)时f′(x)＜0,x∈(1,+∞)时f′(x)＞0,∴函数f(x)只能在x=c或x=1处取得最小值.要使f(x)在x=1处取得最小值,只要使得f(c)≥f(1).

∴c⁴+c³+e≥+c+e.

∴c⁴-2c³+2c-1≤0,即(c-1)³(c+1)≤0.

∴-1≤c＜0,即c的取值范围是［-1,0).