Question

已知a为实数，f(x)＝(x²－4)(x－a)．

(1)求导数(x)；

(2)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；

(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， 　　∴(x)＝3x2－2ax－4． 　　(2)由(－1)＝0得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)(x)，(x)＝3x2－x－4． 　　由(x)＝0得x＝或x＝－1，又f()＝，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0， 　　∴f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为． 　　(3)方法一：(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得(－2)≥0，(2)≥0， 　　即 　　∴－2≤a≤2． 　　∴a的取值范围为[－2，2]． 　　方法二：令(x)＝0，即3x2－2ax－4＝0， 　　由求根公式，得x1，2＝a±(x1＜x2)， 　　∴(x)＝3x2－2ax－4在(－∞，x1]和[x2，＋∞)上非负． 　　由题设可知，当x≤－2或x≥2时，(x)≥0，从而x1≥－2，x2≤2， 　　即解不等式组得－2≤a≤2，∴a的取值范围是[－2，2]． 　　解析：本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合应用能力．

提示：

求导时，先将多项式展开，然后利用公式和求导法则往往更容易．