Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(－，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为，所以，椭圆C的方程是x2＋＝1．(4分) 　　(Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2＋y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x＋)2＋y2＝． 　　由解得即两圆相切于点(1，0)． 　　因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．(6分) 　　事实上，点T(1，0)就是所求的点．证明如下： 　　当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)． 　　若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y＝k(x＋)． 　　由即(k2＋2)x2＋k2x＋k2－2＝0． 　　记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则　(9分) 　　又因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 　　·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋)(x2＋) 　　＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1 　　＝(k2＋1)＋(k2－1)＋＋1＝0， 　　所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)． 　　所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．(13分)