Question

2．已知（x+2）²ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_2n-1（x+1）^2n-1+a_2n（x+1）²ⁿ，n≥2，n∈N⁺，则a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n=2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 观察二项式，将左边变形为关于x+1的二项式，然后求展开式的奇数项的系数和减去常数项得到所求．

解答 解：由已知得到（x+1+1）²ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_2n（x+1）²ⁿ，n≥2，n∈N⁺，
所以令x+1=1，得到a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n=2²ⁿ①；n≥2，n∈N⁺，
令x+1=-1，得到a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n=1；②
①+②得到2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n）=2²ⁿ+1，其中a₀=1；
所以a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n=2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$；
故答案为：2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用赋值法求二项展开式的系数问题；关键是对二项式正确变形，对变量正确赋值，得到所求．