Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），记b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设cn=1+

1

b 2 n

+

1

b 2 n+1

，数列{

cn

}的前n项和为S_n，求证：n＜S_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）方法一：直接根据条件求出b_n-1的表达式，再与b_n-2=的表达式作差，结合递推关系式，整理即可证明数列{b_n}为等差数列；即可求出求其通项公式；
方法二：先根据数列{a_n}的递推公式得到a_n+1²=a_n+2-a_n+1+1；再代入b_n=a₁²+a₂²+…+a_n+2²-a₁a₂…a_n+2整理可得b_n=n+3；即可说明结论．
（2）先求出c_n的表达式，进而得到

cn

=

(n+3)(n+4)+1

(n+3)(n+4)

=1+

1

(n+3)(n+4)

=1+

1

n+3

-

1

n+4

；再代入求出S_n，即可得到结论．

解答：解：（1）方法一  当n≥3时，因b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n①，
故b_n-1=a₁²+a₂²+…+a_n²+a_n+1²-a₁a₂…a_na_n+1②． …（2分）
②-①，得  b_n-1-b_n-2=a_n+1²-a₁a₂…a_n（a_n+1-1）=a_n+1²-（a_n+1+1）（a_n+1-1）=1，为常数，
所以，数列{b_n}为等差数列． …（5分）
因  b₁=a₁²+a₂²+a₃²-a₁a₂a₃=4，故  b_n=n+3．   …（8分）
方法二  当n≥3时，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，
将上两式相除并变形，得  a_n+1²=a_n+2-a_n+1+1．…（2分）
于是，当n∈N*时，b_n=a₁²+a₂²+…+a_n+2²-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a₅-a₄+1）+…+（a_n+3-a_n+2+1）-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a_n+3-a₄+n-1）-（1+a_n+3）
=10+n-a₄．
又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3（n∈N*）．
所以数列{b_n}为等差数列，且b_n=n+3． …（8分）
（2）因  c_n=1+

1

(n+3)2

+

1

(n+4)2

=

((n+3)(n+4)+1)2

(n+3)2(n+4)2

，…（12分）
故  

cn

=

(n+3)(n+4)+1

(n+3)(n+4)

=1+

1

(n+3)(n+4)

=1+

1

n+3

-

1

n+4

．
所以  Sn=(1+

1

4

-

1

5

)+(1+

1

5

-

1

6

)+…+(1+

1

n+3

-

1

n+4

)=n+

1

4

-

1

n+4

，…（15分）
即  n＜S_n＜n+1． …（16分）

点评：本题综合考查解决基本数列的基本方法（定义法，分组裂项求和等），考查运算能力．