Question

（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.

因为为的中点，为的中点,

所以 ∥且.又是中点，

所以 ∥且,

所以 ∥且.

所以，四边形为平行四边形.所以∥.

又平面,平面,则∥平面.   ………………5分

(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.

所以平面.

因为平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因为侧面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.                ………………………………………10分

（Ⅲ）解: 取中点，连接. 

在三棱柱中，因为平面，    

所以侧面底面.

因为底面是正三角形，且是中点，

所以，所以侧面.

所以是在平面上的射影.

所以是与平面所成角.

.            …………………………………………14分

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.

设边长为2，可求得，,

，，，，

，，.

（Ⅰ）易得，，

.  所以， 所以∥.

又平面,平面,则∥平面.  ………………5分

（Ⅱ）易得，，，

所以.

所以

又因为，，

所以平面.            …………………………………………… 10分

（Ⅲ）设侧面的法向量为,

因为, ,，，

所以，.

由  得解得

不妨令，设直线与平面所成角为．

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………14分