Question

已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA₁的中点．

(1)作出该几何体的直观图并求其体积；

(2)求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；

(3)BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示． 　　∵几何体的底面积　　5分 　　(2)证明：连结B1C交BC1于E点，则E为BC1、B1C的中点，连结DE． 　　∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90° 　　∴△ABD≌△DA1C1，∴BD＝DC1， 　　∴DE⊥BC1　　7分 　　同理DE⊥B1C 　　又∵B1C∩BC1＝E，∴DE⊥面BB1C1C， 　　又∵DE面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C　　10分 　　(3)解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1　　12分 　　证明：连结PE，则PE平行且等于AD， 　　∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE平面BDC1，AP平面BDC1， 　　∴AP∥平面BDC1．