Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A1O， 在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°， 所以A1O2=AA12+AO2-2AA1·AOcos60°=3， 所以AO2+A1O2=AA12，所以A1O⊥AO。 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 所以A1O⊥平面ABCD。 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，  （Ⅰ）由于， ， ∴； （Ⅱ）由于OB⊥平面， ∴平面的一个法向量为， 设，则， 设，则， 取， ∴， 所以，二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为。 （Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1， 设，P（x，y，z）， 则， 从而有， 设，则， 又， 设，则，取， 因为BP∥平面DA1C1，则，即， 得，即点P在C1C的延长线上，且。