Question

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥PC，PD⊥CD，且PA＝2，点E满足

(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角E－AE－D的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)正方形ABCD中，， 　　又，所以 　　所以　2分 　　又 　　 　　　4分 　　又 　　　5分 　　(Ⅱ)方法一： 　　在平面PAD中，过E作//，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连结EG， 　　平面ABCD， 　　平面ABCD， 　　又，平面EGF 　　故，所以为二面角E－AC－D的平面角　9分 　　又EF＝，在ACD中，FG＝ 　　EG＝　11分 　　　12分 　　方法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则C(2，2，0)，E()，＝(2，2，0)，＝()　7分 　　设平面ACE的法向量＝(x，y，z)，则 　　 　　又平面ACD的法向量为＝(0，0，2)　10分 　　　11分 　　由图可知，二面角的平面角为锐角， 　　二面角E－AC－D的余弦值为　12分