Question

数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1-a_n=

2(an+1+an)+15

，数列{b_n}的前n项和S_n满足：S_n=2（1-b_n）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是一个等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式，并求出数列{a_nb_n}的最大项．

Answer 1

解 （1）令n=1得a₂-5=

2(a2+5)+15

，解得a₂=12，
由已知得（a_n+1-a_n）²=2（a_n+1+a_n）+15        ①
（a_n+2-a_n+1）²=2（a_n+2+a_n+1）+15     ②
将②-①得（a_n+2-a_n）（a_n+2-2a_n+1+a_n）=2（a_n+2-a_n），
由于数列{a_n}单调递增，所以a_n+2-a_n≠0，于是
a_n+2-2a_n+1+a_n=2，即（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
所以{a_n+1-a_n}是首项为7，公差为2的等差数列，于是
a_n+1-a_n=7+2（n-1）=2n+5，所以
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2n+3）+（2n+1）+…+7+5=n（n+4）．
（2）在 S_n=2（1-b_n）中令n=1得b₁=2（1-b₁），解得b₁=

2

3

，
∵S_n=2（1-b_n），S_n+1=2（1-b_n+1），相减得b_n+1=-2b_n+1+2b_n，即3b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首项和公比均为

2

3

的等比数列，
∴b_n=（

2

3

）ⁿ．
从而a_nb_n=n（n+4）（

2

3

）ⁿ．
设数列{a_nb_n}的最大项为a_kb_k，则有
k（k+4）（

2

3

）^k≥（k+1）（k+5）（

2

3

）^k+1，且k（k+4）（

2

3

）^k≥（k-1）（k+3）（

2

3

）^k-1，
所以k²≥10，且k²-2k-9≤0，因为k是自然数，解得k=4．
所以数列{a_nb_n}的最大项为a₄b₄=

512

81

．