Question

5．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，作出△ABC的图形，分析可得PE=$\frac{1}{2}$PB，PF=$\frac{1}{2}$PC，结合题意分析可得m+n=2，由此$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$可以变形为$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$）（$\frac{m+n}{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$），由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，如图所示，过点P做PE⊥AB，PF⊥AC，
则PE=m，PF=n，
又由AB=AC，∠BAC=120°，则∠ABC=∠ACB=30°，
则PE=$\frac{1}{2}$PB，PF=$\frac{1}{2}$PC，
即m=$\frac{1}{2}$PB，n=$\frac{1}{2}$PC，
又由PB+PC=BC=4，即m+n=2，
则$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$）（$\frac{m+n}{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{9}{2}$，
即$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$，此时m=2n．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的性质，涉及三角形的有关计算，关键是求出m+n的值．